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生産関数

http://d.hatena.ne.jp/econometrica/20091201
の続き
上の記事では、誤差項と説明変数の相関からくるバイアスをパネルデータのバリエーションを使って除く方法をみた。
一方で、誤差項それ自体（Productivity Shockとか）がどんなプロセスで変化しているかについては、Linear Processでないと対処できない方法であった。そこで、より一般のプロセスに対処できる方法を示したのが以下の論文である。

The dynamics of productivity in the telecommunications equipment industry - GS Olley, A Pakes - Econometrica, 1996

上の記事と同じように
y_{it}=\alpha + \beta_l l_{it}+\beta_k k_{it} +\omega_{it} +\epsilon_{it}
というモデルを考える。
以下の仮定を置く。

A1:First-Order Markov
P(\omega _{it} |I_{it-1})=P(\omega _{it} |\omega_{it-1})

A2:Timing

  • 1 Labor is non-dynamic decision variable
  • 2 Capital is dynamic decision variable

k_{it}=K(k_{it-1},i_{it-1})

A3:Strict Monotonicity
i_{it}=f_t(\omega _{it},k_{it})
is strictly monotonic in omega


仮定１より、投資の意思決定は今期のショックと今期の資本にのみ依存しているといえ、その依存関係を関数ｆで表現できるとする。仮定３から、オメガに関してｆの逆関数が取れることになる。これを最初の式に代入すると
y_{it}=\alpha + \beta_l l_{it}+\beta_k k_{it} +f_t^{-1}(i_{it},k_{it}) +\epsilon_{it}
とかける。
ここで
\phi(k_{it},i_{it})=\beta_k k_{it} +f_t^{-1}(i_{it},k_{it})
とおく。

Step 1： \beta_l を推定する
y_{it}=\alpha + \beta_l l_{it}+\phi(k_{it},i_{it}) +\epsilon_{it}
の式から、ｙをｌとファイでリグレッションすればｌにかかる係数は求められる。ファイはノンパラメトリックに推定すればいい。
つまり、ｙをｌとｋとiの多項式でリグレッションすればいいだけ。

Step 2: \beta_k を推定する
Given betaのもとでは、オメガは求められる。（ファイからbeta Kを引けばいいので）
また、A1より、
\xi(\beta_k)=\omega_t(\beta_k)-E(\omega_t|\omega_{t-1})
とおくと、ξは平均的には０のはずである。
そこで、まず
E(\omega_t|\omega_{t-1})
をノンパラメトリックに推定して、 E(\xi(\beta_k))=0 というモーメントコンディションから \beta_k を推定することができる。