Estimating Discrete-Choice Models of Product Differentiation

Estimating Discrete-Choice Models of Product Differentiation
Steven T. Berry
The RAND Journal of Economics, Vol. 25, No. 2 (Summer, 1994), pp. 242-262

Logitモデルを含む多くの離散選択モデルにおいて、Unobservable CharacteristicsやIndividual Heteroskedasticityは誤差項が説明していて、IndependenceやIdentically Distributedといった仮定をおく。しかし、それは必ずしも適当ではない。

この論文では、Unobserved Characteristics（possibly correlated with price）を含むようなより一般的な離散選択モデルにおける推定を扱っている。

Model：
$U(x_j, \xi _j, p_j, \nu _i; \theta)$
が消費者iが製品jを購入したといに得られる利得とする。ここで、xは観察可能な品質、 $\xi$ が（分析者にとって）観察不可能な品質（でも消費者や企業には観察可能）、pは価格、 $\nu$ が消費者独自の要素を表している。

特に、
$u_{ij} = x_j \tilde{\beta}_i - \alpha p_j + \xi_j + \epsilon _{ij}$
というモデルを考える。

単純化して、
$\tilde{beta}_{ik} = \beta _k + \sigma _k \zeta _{ik}$
と書けると仮定する。ここで、 $\zeta _{ik}$ は平均０でiidであるとする。（例えば正規分布など）

すると、
$\nu_{ij} = \sum _k x_{jk} \sigma_k \zeta _{ik} +\epsilon _{ij}$
$\delta _j =x_j \beta -\alpha p_j + \xi_j$
と書きなおせば、
$u_{ij} = \delta_j + \nu _{ij}$
と書きなおすことができる。

ここで、
$A_j (\delta ) =\{ \nu_i \mid \delta _j +\nu_{ij}> \delta_k +\nu _{ik}, \forall k \not= j\}$
を定義すると、ModelからImplyされる製品jのマーケットシェアは
$s_j (\delta (x,p,\xi),x,\theta) = \int _{A_j(\delta)} f d\nu$
とかける。ｆはニューのDensity。

マーケットのデータから実際のシェアSが観察されるとき、 $S_j =s_j (\delta (x,p,\xi),x,\theta)$ が成立するはずである。
Under Weak Regularity Condition、sをデルタの関数とみるとsの逆関数が存在することが示せる。つまり、任意のマーケットシェアに対して、唯一のデルタが定まる。
注：Identificationの問題があるような気もするけど、それは通常の離散選択モデルと同じ議論だからこの論文ではあんまり論じられていないのかと思う。

よって、観察されたシェアから逆関数を用いて
$\delta _j(s) =x_j \beta - \alpha p_j + \xi _j$
が求められる。
一つの市場からはJ個の等式しか得られないが、多くの独立な市場からデータを得ることができれば通常のIVの手法を使ってパラメータを推定することができる。
Instrumentには他の製品のCharacteristicsが使えると主張している。

いくつか例をあげているが、より具体的かつ一般的なモデルはBLP(1995)を読めっていう感じ。

ちなみに供給側についても論じている。基本的には、Demandをモデルで書くことができれば、後はFOCをとるだけ。Supply Sideについては、
Identification of the oligopoly solution concept in a differentiated-products industry
A Nevo - Economics Letters, 1998
に詳しく書いてあるし、短いので読めばいいと思った。