■ - 経済学論文レビュー

授業の発表用に以下の論文を読んだので、ついでに一様分布についての知識をまとめておこうと思った。

Asymptotic efficiency in parametric structural models with parameter-dependent support
K Hirano, JR Porter - Econometrica, 2003

$X_i \sim U(0,\theta)$ かつi.i.d.の状況を考える。
まず、GMM推定量が $\sqrt{n}$ -consistentであるのに対して、MLE（最尤推定量）は $n$ -consistent である。MLEは $\hat{\theta}_{MLE}=X_{(n)}$ であるので、Exactな分布が求められるので、 $n(\hat{\theta}_{MLE}-\theta )$ が指数分布に収束することは容易に確かめられる。（ここで $X_{(n)}$ はnth order statistics）
一方で、MLEはDownward biasedである。観察されるデータがパラメータより厳密に小さい値しかないことを考えると納得だろう。

具体的には、 $Z_n=X_{(n)}$ の累積密度関数 $G(x)$ は、Xの累積密度関数を $F(x)=\frac{x}{\theta}$ とおくと、
[tex: G(x)= Pr(Z_n \theta-\frac{x}{n}) =1- (1-\frac{x/\theta}{n})^n \to 1-e^{-x/\theta} ]
になる。

上の論文での主張は、MLEよりもBayes Estimatorの方が優れているということだ。例えば、上の問題ならLoss FunctionがSquare Lossなら $\frac{n+1}{n}X_{(n)}$ 、Absolute Lossなら $\frac{n+\log 2}{n}X_{(n)}$ の時の方がLossが小さいし、Minmaxになっていることが知られているが、両方ともかなり自由にPriorを選べる場合のBayes Estimatorになっている。上の論文ではその一般化を行った。

また、一様分布のMLEをブートストラップしようとすると上手くいかないことも知られている。BootstrapはInconsistentで、Subsamplingするしかないことが知られている。Subsamplingにおいても、ConsistentlyにMLEの分布をブートストラップするためには、サブサンプルでResampleする割合にもｎのオーダーの意味で制約がある。

一様分布は他にも面白い性質がいっぱいあって、色んな結果の反例を見つけるのによく使われる。たとえば、一様分布の特性関数は無限回X軸と交わったりする。