Simulation and the asymptotics of optimization estimators

Simulation and the asymptotics of optimization estimators
Pakes, D Pollard - Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1989

シミュレーションを使ったGMM的な推定における一般的な状況でも使える漸近理論を提示しているのがこの論文。
$G(\theta)=\int h(x,\theta)P(dx)=0$
のユニークな解がθ0だとする。しかし、ｈが複雑な積分を含むような場合、計算コストが高くなるという問題が生じる。たとえば、
$h(x,\theta))=\int H(x,\xi,\theta)P(\xi|dx)=0$
というかたちだとする。ξの分布は既知とする。

たとえば、Coefficientの分布が既知のときのRandom Coefficient Logitを考えよう。係数の値が与えられればLogitなので選択確率は簡単にかけるが、係数がRandomなので各係数の実現値に関してLogitの選択確率を計算してそれを係数の分布で積分するといった作業が必要になる。しかし、その積分は必ずしも簡単ではない。
もっとも直感的かつ簡単そうなのは、係数の分布からいくつか適当に値をドローしてきて、そのシミュレートされた値の平均で積分を置き換えるという方法だ。この論文ではその方法の漸近理論を確立している。

モデルに戻ると、
$\{ \xi_{i1},\cdot \cdot \cdot , \xi_{is} \}$
という値を
$P(\cdot|x_i)$
から引いてきて、
$\hat{h}(x_i,\theta))=s^{-1} \sum_{j=1}^s H(x_i,\xi_{ij} ,\theta)$
でｈを置き換えて
$G_n(\theta) = n^{-1} \sum_{i=1}^n \hat{h}(x_i,\theta))$
という目的関数をつくりGMM的な推定をするという方法を提示している。