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Distribution-free maximum likelihood estimator of the binary choice model
SR Cosslett - Econometrica 1983

まぁ、こんなの読むぐらいだったらManski(1975)を読んで、Maximum Scoreを理解しろって感じなんですけど、途中まで読んじゃったんで、ざっくばらんに。

Logit,Probitは誤差項の仮定が強い。iidの仮定だけでMLEっぽい推定ができないものかっていうのがモチベーション。Maximum Scoreでいいじゃん。。。
論文中で触れられてたけど、マキシマムスコアの方が仮定が弱い。なおさら、Maximum Scoreでいいじゃん。。。

zがCovariateで、θがパラメータで u=v+η って感じの効用を最大化するようにBinary Choiceをする。
ηが誤差項で、vのFunctional Formは分かってるとする。
当然、差をとってロケーションとスケールを標準化する。

MLEっぽい推定の手順は以下。
Likelihoodは、パラメータと誤差項の分布関数のファンクショナルとして書けて、

Vとかｃが何かは説明略。Meanvalueの差と１，０のチョイス。

１．θ所与のもとで、上を最大化するFをみつける。
２．Fハットがθの関数で書けるので、それを代入して、Concentrated Likelihoodをθに関して最大化する。

っていう手順。

Fハットの見つけ方。
１．θがGivenだと、各人のV_jが完全にRank-orderedになる。（タイはとりあえず無視する）
２．F(V_j)をF_jっておくと、対数尤度は、

ってかける。ので、それを最大化する。
３．まず、最初にc_1jが1になるjまでF_j=0にした方がよくて、逆に残り全部１になるようなj以降のF_jは１にした方がよい。途中c_1jの列に01が出てくるまでのjを同じグループにする。F_jが増加列であることを無視すると、そのグループ内のF_j＝（グループ内の１の数）/（グループ内のｊの数）って置くのが尤度を最大化する。
しかし、これはF_jが増加列であることに矛盾するかもしれない。その場合、その次のグループとグループを統合して新しいグループを作り、同じ計算をする。
４．これを繰り返すとFハットが一意にもとまる。

これを対数尤度にぶちこんでθについて最大化する。

一致性についても。
ここで、ηをIncidental Parameterとみなすと、Incidental Parameter ProblemのもとでMLEがConsistentである条件の応用でθが一致性をもつ条件を見つけられる。

読んでて途中で飽きたので、軽くこんな感じで。