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Binary Choice

Maximum likelihood estimation of a binary choice model with random coefficients
H Ichimura, TS Thompson - Journal of Econometrics, 1998

Binary Choiceとして、以下のようなモデルを考える。ｘは１（コンスタント項）を含む。
y_i=1\{ x_i'\beta_i \geq 0 \}
ここで、βは各個人で変化するが、βの分布が識別できるかがこの論文の問題。

まず、いくつか定義とか。
H(x)=\{ b| x'b\geq 0\}
p(x,F_0)=Pr(y_i=1|x_i=x) =\int _{H(x)}dF, F\in \mathbf{\textit{F}}
βの分布が識別できることを以下のように定義する。
F_0 is identified relative to \mathbf{\textit{F}} if and only if for each F\in \mathbf{\textit{F}} ,
Pr\{ p(x_i,F)=p(x_i,F_0) \} =1 implies F=F_0
当然スケールは識別できないので、β=0の確率を０とすると、スケールを１に標準化できる。
それでもまだFのSetは大きすぎる。
たとえば、2次元のケースを考える。βの分布が円上に一様分布しているときと、第一、第三象限にだけ一様分しているときでOutcomeは同じになるので、両者はIdetifyされない。

Theorem 1として識別のための十分条件を提示している。
１．モデルが正しい
２．ｘとβは独立に分布している
３．ノームが１の範囲の半分だけに分布している。there exists c, s.t. Pr(c'\beta>0)=1
４．どんなオープンセットをとっても、ｘがそこにはいっている確率はポジティブ。

つぎに尤度をｙとp(x,F)の式でかいて、Fに関して最大化する。
結果、FはAt most N個のsupportを持った分布として一意にきまる。

あと、コンピュテーショナルな問題にもふれつつ、Consistencyのための十分条件をいくつか挙げてるって感じ。最後にモンテカルロの結果。

これも結局最後まで読まなかった。。。。