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Bidding rings
RP McAfee, J McMillan - The American Economic Review, 1992

オークションにおけるカルテルについての理論の論文。
１．SellerがひとつのObjectを売る。
２．First price Auction。Reserve Priceがある。
３．Independent Value
４．Enforcing Mechanismに関しては背後にあることを仮定する。

っていう前提のもとで、Weak CollusionとStrong CollusionにおけるBidの性質について分析してる。
WeakとStrongの差はSide Paymentが不可能か可能かの違い。

入札前に、なにがしかのメカニズムでカルテル内でのBidを決め、その各自の入札を（なんらかのEnforcing Mechanismの存在を仮定して）実行するというモデルで、そのカルテル内で決まるBidについて考察している。もちろん顕示原理をつかって、Trueth TellingでIncentive Compatibleなものだけ考える。

まず、ｒがKnownな場合を考える。

Weak Collusionでは、Reserve Price（rとする）以上のValueを持ってる人が全員ｒをBidする。
Strong Collusionでは、もっともValueの高い人がRをBidして、Side Paymentでメンバーに金銭を分け与えるって感じ。
どちらにしろSellerが得るのはｒ。

次に、Sellerがｒを秘密にしてる場合（ランダマイズしてる場合）を考える。

これは、入札参加者がカルテルメンバーの他にカルテルに入っていないメンバーもいる場合と同じ。
一気に問題が複雑になり、均衡戦略を特徴付けることはできるけど、Analyticalには解けない。すっごい簡単な例でAnalyticalに解いてるけど、一般には無理だろう。

最後にカルテルを前提に、SellerのｒのOptimal Choice。

当たり前といえば当たり前だが、カルテルがない場合より高いｒを設定するほうがよい。

論文ではさらに、ｒをランダマイズすることで、
１．より高い収入を得られるかもしれない
２．カルテルを不安定にさせることができる
みたいなことを主張しているが、ざっくばらんな議論にとどまっている。

２．のポイントについては、実証的にどうなのか気になる。

結論

Strong Cartelでは効率性が達成されるが、Weak Cartelだと効率的ではない。（ランダムに入札者が決まるから）
一方、Sellerの立場的には収入は一緒。